» Mathematik
Zufall und Chaos bestimmen seit jeher Prozesse in unserer Welt, die sich gegenseitig bedingen. Wir alle leben am Rand des Chaos und das auch noch ganz ausgezeichnet.
Aber was eigentlich ist Chaos? Dabei handelt es sich im Allgemeinen um die Abwesenheit von Ordnung. Zufall ist hingegen das, was nicht vorhergesehen werden kann. Betrachtet man ein Geröllfeld oder die Form einer Wolke, so kann man zu dem Schluss kommen, dass Chaos stets die Folge von Zufall ist.
Zufall und Chaos
Allerdings ist dem nicht so. Mathematiker und Physiker haben Chaos in „deterministisches Chaos“ umbenannt, womit ein Systemverhalten bezeichnet wird, das zwar dem Zufall extrem ähnelt, aber bis ins Detail vorherbestimmt ist. [...mehr]
Loading ...Wer freut sich nicht über einen blauen Himmel, aber haben Sie sich schon mal gefragt, warum der Himmel überhaupt blau ist, wenn doch die Sonnenstrahlen eigentlich weiß bis transparent sind? Dabei sollte man sich zwei Faktoren vor Augen halten: 1. Die Luft besteht hauptsächlich aus zwei Gasen: Sauerstoff und Stickstoff. 2. Ein Regenbogen entsteht durch die wellenlängenabhängige Brechung und Strahlung des Sonnenlichts.
Wenn man bedenkt, dass der Himmel eigentlich schwarz ist, betrachtet man das Phänomen des blauen Himmels doch gleich mit anderen Augen. Dank der Streuung der Lichtstrahlen und der Farbwahrnehmung unserer Augen, können wir in den Genuss eines physikalischen Wunders kommen. [...mehr]
Kryptographie klingt nach verschlüsselten Botschaften und Geheimwissen. Tatsächlich hat sie auch mit all dem zu tun. Die Kryptographie hat eine lange Geschichte vom Altertum bis in die heutige Zeit. Die berühmteste kryptographische Maschine ist sicherlich die “Enigma”.
Bereits die alten Ägypter und Hebräear kryptographierten, was das Zeug hielt. Auch in allen weiteren Epochen spielten verschlüsselte Botschaften eine große Rolle. Zu allen Zeiten also gab es ein bestimmtes Wissen, das vor dem Zugriff anderen geschützt werden sollte.
Die Gründe sind vielfältig und waren u.a. die Geheimhaltung diplomatischer Botschaften, wissenschaftlicher Erkenntnisse oder militärischer Planung.
Die klassische Kryptographie basierte rein auf Buchstaben. Die simpelste Verschlüsselungstechnik ist die “Verschiebechiffre“, die viele schon als Kind ausprobiert haben.
Die moderne Kryptographie ist untrennbar mit dem Namen Claude Shannon (1916 – 2001) verbunden. Seit den 40er Jahren ist die Kryptographie durch seine Entwicklungen vorallem auch eine mathematische Wissenschaft. Funktionierte die Verschlüsselung zuvor auf Geheimhaltung des Verfahrens, so war Kryptographie seitdem eine geradezu öffentlich diskutierte Disziplin.
Weltweit bekannt wurde die Kryptographie durch die ENIGMA. Sie ist eine Rotor-Schlüsselmaschine, die im Zweiten Weltkrieg im Nachrichtenverkehr des deutschen Militärs, der Polizei, der Geheimdienste, der SS und der Reichsbahn eingesetzt wurde. „Enigma“ (αίνιγμα) ist ein griechisches Wort und bedeutet Rätsel.
Um die Entschlüsselung dieses Rätsel spinnt sich eine der spannendsten Spionage-Geschichten des 20. Jahrhunderts. Wer mehr darüber eifahren will und auch als guten Einstieg in die Thematik empfiehlt sich der gleichnamige Spiel-Film. [...mehr]
Mohammed Al Khwarizmi, der Vater des „Buchstaben Rechnens“.
Man weiß nicht viel von ihm, weder seinen Geburtsort, noch wann er geboren oder gestorben ist.
Dennoch gibt es einige Fakten und Thesen, warum ihm der der Name „Vater des Algebras“ zugesprochen wird. In der Schule und der Gesellschaft ist diese Form der Mathematik nicht mehr wegzudenken und sie wird auch heute noch unverändert gelehrt.
Als sich Bagdad noch von Spanien bis zu den Ausläufern des Himalajas erstreckte und dem Kalif Harun-Alrashid regiert wird ( von 786 bis 809) regiert wurde,
entwickelte sich an seinem Hof ein vielfältiges Kulturelles Leben.
Nach einem blutigen Machtkampf wurde sein jüngerer Sohn Al-Mamun sein Nachfolger.
So entstand dort eine umfassende Bibliothek – in etwa vergleichbar mit der Bibliothek in Alexandria, in welcher bedeutende Werke aus anderen Kulturkreisen ins Arabische übersetzt wurden – darunter auch die der griechischen Philosophen und Mathematiker.
Schnell kam der Name “Hauses der Weisheit” zustande und in ihm lehrten und forschten die Wissenschaftler:
die Brüder Abu Jafar Muhammed (800 – 873),
Ahmed (803 – 873) und
Al-Hasan Ibn Musa Ibn Shakir (810 – 873) sowie
Abu Yusuf Yaqub Ibn Ishaq Al-Sabbah Al-Kindi (801 –873) und der wohl bedeutendste Wissenschaftler bis zur heutigen Zeit:
Mohammed Al-Khwarizmi,
Ihm verdanken wir die Übernahme der indischen Ziffern, die seitdem als arabischindische Ziffern bezeichnet werden.
Er erkannte die Vorteile der Dezimalschreibweise – insbesondere auch die Rolle der Null als Platzhalter für nicht besetzte Stellen im Stellenwertsystem erfasste er in der höheren Mathematik.
Zusammenfassend ist er ein Mensch, von dem man nichts genaues weiß – man aber vermutet das er und seine Familie aus dem persischen kamen – er aber uns bis heute im Gedächtnis geblieben ist in Form der Algebra, auch Buchstaben-Rechnen genannt. [...mehr]
Mohamed El Naschie hat offensichtlich über lange Zeit einen Teil der wissenschaftlichen Community an der Nase herumgeführt. Seine Zeitschrift Chaos, Solitons and Fractals jedenfalls ist wohl wissenschaftlich nicht sonderlich ernst zu nehmen.
Immer wieder gibt es Berichte über Menschen, denen es gelingt mit betrügerischen Mitteln einen gewissen Status innerhalb der wissenschaftlichen Gemeinschaft zu erlangen. Doktorgrade gehören hier noch zu den harmloseren Sachen. Fragwürdige Publikationen in Zeitschriften sind da schon bemerkenswerter. Zeitschriften sollten schließlich darum bemüht sein eine gewisse Qualitätssicherung zu betreiben. Dennoch gelang es Betrügern falsche Erkenntnisse in seriösen Publikationen unterzubringen. [...mehr]
Die Frage, wie viele Züge man braucht, um den Rubik-Würfel von einer beliebigen Ausgangsposition in die Grundstellung zu bringen, treibt nicht nur Puzzler, sondern auch Mathematiker um – bisher ohne Lösung.
Wer in den 80ern schon alt genug gewesen ist, dürfte ihn auf jeden Fall kennen: den Rubik-Würfel, Rubik-Cube oder “Zauberwürfel”. Ihn aus einer der zahllosen bunt gewürfelten Zustände wie in den Ursprungszustand mit gleichfarbigen Seitenflächen zu drehen, hat viele den Verstand gekostet. Vielleicht ein Grund dafür, dass der Trend wieder verschwunden ist. Kein Grund kann sein, dass jemand die schnellste Lösung gefunden hat, denn ein Beweis für diese steht noch aus.
Der Würfel hat sechs Seiten mit je neun Feldern. Daraus ergeben sich 43 Trillionen unterschiedliche mögliche Stellungen. Zählt man Positionen nicht doppelt, die durch Drehung des gesamten Würfels oder Spiegelungen ineinander überführt werden können, dann bleiben noch 901 Billiarden Stellungen. Das sind immer noch viele, sehr viele:Um bei einer einzigen Stellung einen Computer berechnen zu lassen, wieviele Drehungen minimal notwendig sind, um die Grundstellung zu erreichen, braucht es 15 Minuten. Das heißt, dass für alle Stellungen fünf Millionen Computer fünf Millionen Jahre rechnen müssten. Das erinnert ein wenig an “Per Anhalter durch die Galaxis” und ist wohl nicht durchführbar.
Im Laufe der Zeit gelang es Mathematikern jedoch der Zahl ein wenig näher zu kommen. 1980 fand man heraus, dass mindestens 18 Züge benötigt werden, 1982, dass maximal 52 benötigt werden. Damit ergab sich eine Spanne von 18-52 Zügen – noch sehr unbefriedigend. Bis 2007 gelang es, die Zahl auf 20-26 einzugrenzen.
Nun ist es dem Mathematiker Tomas Rokicki gelungen, den Beweis zu erbringen, dass maximal 23 Züge benötigt werden. Hierzu hat er eine Gruppe von 200.000 Stellungen ausgewählt, von der sich Beweisen lässt, dass sie aus jeder Stellung in drei Zügen erreichbar sind. Für diese 200.000 Stellungen hat er nun einen Computer 7,8 Jahre berechnen lassen, wie viele Züge für sie notwendig sind, das Ergebnis war 20. Das bedeutet, dass aus jeder Stellung in 23 Zügen die Grundstellung erreicht werden kann. Damit wird die gesuchte Zahl auf 20-23 eingegrenzt und man vermutet, dass sie bei 20 liegen wird.
Nicht so interessant wie die Frage nach dem Sinn des Lebens, die dem Supercomputer in “Per Anhalter durch die Galaxis” gestellt wurde, aber vielleicht eine Frage, die Einigen die Mathematik und ihre Anwendung etwas näher bringt.
Mittlerweile spielen es sehr viele in Deutschland. Ich musste dahingegen schon vor dem Poker-Boom feststellen: so einfach ist das alles nicht.
Poker wird zwar nicht nur in privaten Gesellschaften gespielt, sondern auch in machen Casinos, es deshalb einfach als Glücksspiel abzutun wäre falsch. Für Spiele wie Roulette mag das gelten, auch wenn einige Mathematiker immer mal wieder versucht haben, ein System zu entwickeln, mit dem man die Wahrscheinlichkeit betrügen kann. Bei Spielen wie Black Jack ist dies zumindest Kartenzählern gelungen. Diese haben die Wahrscheinlichkeiten für Kartenkombinationen berechnet und sind damit reich geworden, bis die Casinos Gegenmaßnahmen ergriffen oder die Profispieler rausschmeissen.
Bei Poker sieht das anders aus. Da darf und muss man die Wahrscheinlichkeiten berechen. Auch wenn man ein noch so guter Bluffer ist, wird man sonst untergehen. Bei einzelnen Spielen mag man Glück haben, doch auf Dauer muss man wissen was man da tut. Bei der Texas Hold’em Varinate lassen sich so einige Berechnungen anstellen. Zunächst kennt man ja seine eigenen Zwei Karten und weiß, welche Karten sonst noch im Spiel sind. Aufgrund dieser zwei Karten am Anfang lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass man gewinnt. Entsprechend dieser Wahrscheinlichkeit sollte man nun mit seinem Einsatz wetten. Dann werden im River drei Karten aufgedeckt. Hier weiß man schon, wie gut man gewettet hat und kann die Wahrscheinlichkeit für den eigenen Sieg aktualisieren. Waren zwei Asse am Anfang oder ein hohes Pärchen am Anfang noch Garant für den Sieg, kann es nun eine einfarbige Hand oder der fehlende Rest für eine Strasse sein. Entsprechend des Rivers der Hand und der Wahrscheinlichkeit sollte man nun setzen. Mit diesem nüchternen Spiel sollte man gut fahren. Spielt man mit anderen guten Poker-Spielern reicht Mathematik dann vielleicht nicht mehr aus. Ein wenig Menschenkenntnis muss sein, um Vermutungen über das Blatt der anderen anzustellen und auf dieser Grundlage die mathematische Wahrscheinlichkeiten für den eigenen Sieg neu zu berechnen. [...mehr]
Wer kennt das nicht: beim Boarding in Flugzeugen kommt es zu Gedränge und Wartezeiten. Dies Problem hat ein Teilchenphysiker jetzt mathematisch gelöst. Leider wollen die Fluggäste den Berechnungen nicht so gerne folgen.
Nun gibt es viele unterschiedliche Methoden Menschen in Flugzeuge steigen zu lassen. Entweder lässt man die hinteren Reihen zuerst einsteigen, die vorderen zuerst, erst die Ränder dann die Mitten, alle Gleichzeitig oder in Gruppen oder einfach alle wie sie wollen. Diese unterschiedlichen Techniken können einen großen Zeitunterschied ausmachen. Jason Steffen hat in Nature nun aufgrund von Erfahrungen mit Elementarteilchen einen weiteren Vorschlag gemacht. Grundlage ist der Monte-Carlo-Algorithmus. Mit ihm lassen sich mathematisch Entscheidungen mit Fehlern simulieren. Nun kann berechnet werden, wann sich Fluggäste am wenigsten behindern würden.
Das ist der Fall, wenn zwei Fluggäste zwei Reihen voneinander entfernt sitzen. Deshalb war sein Vorschlag die Menschen in 10er Gruppen einsteigen zu lassen, die in den geraden Sitzreihen sitzen. Dann steigt eine Gruppe mit ungeraden Sitzreihen ein usw. Hierbeit muss jedoch auch die Sitzreihenreihenfolge eingehalten werden. So kann es zu einer Zeitersparnis von ungefähr 80% gegenüber dem schlechtesten Fall (Leute der vorderen Reihen zuerste einsteigen lassen) kommen. Leider wollen die Leute so nicht einsteigen. Sie wollen oft zusammen anstehen und einsteigen. Das ist mit der Methode von Steffen nicht möglich. Ein Kompromiss ist die Leute in vier Gruppen einsteigen zu lassen. Erst alle geraden Reihen links, dann alle geraden Reihen rechts und dann das ganze nochmal für die ungeraden Reihen. Dabei käme allerdings nur eine Zeitersparnis von ungefähr 50% heraus, was nicht viel mehr wäre als in dem Fall, wenn alle einfach wild durcheinander einsteigen.
Problem gelöst, aber nur in der Theorie. Schade, ich hätte mich darauf gefreut beim nächsten Flug schneller sitzen zu können. [...mehr]
Mathe mag für viele recht dröge sein und für einige bedeutete es wohl auch die unfreiwillige Verlängerung der Schulzeit. Doch Mathematik hat auch andere Seiten. Was ist den utopischen Gehalten der Mathematik?
Mathematik hat als Grundlage die Logik. In der Logik gibt es eine spezielle Logik: Die modale Logik. Sie hat einen Operator für “notwendig” und einen für “möglich”. Und schon Elster, der Ende der 70er ein Buch über die Logik geschrieben hatte, war von der modalen Logik so fasziniert, weil sie zeige, dass eine andere Welt möglich sei.
Vielleicht etwas übertrieben, aber so scheint die Mathematik unter anderem auf solchen Annahmen zu beruhen und noch mehr. So ist die Mathematik auch ein Reich der Freiheit, denn sie ist nicht wie andere Wissenschaften auf die wirkliche Welt beschränkt, sondern kann mit beliebig festgelegten Axiomen arbeiten. Völlige Freiheit. Nur muss man dann auch die Konsequenzen dieser Annahmen tragen.
Und dort taucht neben der Freiheit ein Element von Gleicheit auf. Denn in der Argumentation, was aus bestimmten Annahmen folgt, sind alle gleich. Jeder muss dieselben Argumente akzeptieren. Sie sind allgemein gültig. Über dieses gemeinsame Teilen universeller Argumente kann dann auch noch eine Art von Solidarität zwischen den Argumentierenden entstehen.
Etwas zuviel des Guten? Habermas zumindest hat diesen Gedanken, wenn auch nicht speziell für die Mathematik in seiner Theorie des kommunikativen Handelns entwickelt. Sicherlich lesenswert. [...mehr]
